Numero di Graham, il numero impossibile da pensare

Il Numero di Graham è di una grandezza inconcepibile. Qualora si riuscisse a pensare il numero di cifre che questo numero contiene l’unica soluzione è che il nostro cervello genererebbe un buco nero.

Quanto appena detto è vero, anche se non c’è da preoccuparsi. È impossibile riuscire a rappresentarlo, se non con una particolare notazione numerica, detta di Knuth; alla fine dell’articolo spiego come funziona questa notazione numerica, per adesso soffermiamoci sul capire cos’è questo numero.

Numero di Graham con notazione numerica di Knuth
Rappresentazione del Numero di Graham con notazione numerica di Knuth

Cos’è il Numero di Graham?

Il numero di Graham, in onore di Ronald Graham, è considerato il primo numero di grandezza inconcepibile ad essere usato in una seria dimostrazione matematica. Pensare di poterlo rappresentare è considerato scientificamente impossibile. Il numero in questione è perfino più grande della quantità di particelle dal volume di Planck (volume più piccolo attualmente noto) presenti in tutto l’universo; ciò significa che, per poterlo rappresentare tradizionalmente, servirebbe uno spazio perfino maggiore dell’intero universo conosciuto.

Dunque, secondo la fisica, se qualcuno o qualcosa dovesse riuscire in qualche modo ad immaginare questo numero, l’unica soluzione possibile è che la sua mente si trasformi in un buco nero. Questo perché la quantità di informazione presente nel cervello sarebbe talmente tanto densa da far innescare lo stesso processo che fa cadere le stelle in una singolarità.

Secondo John Baez, un fisico matematico all’Università della California, basterebbe anche un numero molto più piccolo del Numero di Graham per ottenere il medesimo effetto, come ad esempio un googol.

A conti fatti, quanto è grande il Numero di Graham?

Non è semplice dire quanto sia effettivamente grande questo numero. Ci sono tantissimi grandi numeri, come ad esempio il Googol (un 1 seguito da 100 zeri, quindi un 10100), da cui deriva il Googolplex (un 1 seguito da un Googol di zeri, quindi 10Googol). Questi numeri, per quanto grandi siano, sono ugualmente scrivibili, ma il Numero di Graham è talmente grande che ci sono più zeri che atomi nel nostro universo conosciuto. Ciò significa che nemmeno il più grande dei computer potrà mai lavorarci, proprio perché quest’ultimo dovrebbe avere uno spazio perfino maggiore dello stesso universo.

Ma perché proprio questo numero? Esisteranno sempre infiniti numeri più grandi

La particolarità del Numero di Graham non sta semplicemente nel fatto che sia un grande numero, dato che chiunque potrebbe inventarsi da un momento all’altro un numero perfino maggiore, ma è noto proprio per essere stato utilizzato in una dimostrazione matematica (dimostrazione ovviamente molto complessa e difficile da spiegare).

Come si è arrivati a questo numero?

Il problema che Graham affronta è un caso particolare della teoria di Ramsey. Per chi non conosce la teoria in questione, quest’ultima include problemi del tipo: Quante persone devono esserci in una stanza, perché se ne possa sempre trovare un gruppo di 3, tali che ciascuna conosca tutte le altre o ciascuna non conosca nessuno degli altri?

Sono pochi i problemi del genere ad essere stati risolti, questo perché alcuni richiedono dimostrazioni per nulla semplici e non di facile intuito. Ad ogni modo la teoria di Ramsey assicura che esiste sempre una risposta.

Enunciato del problema che ha dato origine al Numero di Graham

Il numero di Graham nasce proprio da uno dei problemi di Ramsey e l’enunciato dello stesso è il seguente:

Qual è il numero minimo di dimensioni di un ipercubo n-dimensionale, dove tutte le coppie di vertici formano linee che sono tutte colorate con uno dei due colori, tale che deve esistere un grafo completo monocromatico di quattro vertici complanari?

Per capire che cosa questo problema chiede, considera un ipercubo di qualsiasi numero di dimensioni (1 dimensione sarebbe una linea, 2 sarebbe un quadrato, 3 sarebbe un cubo, 4 sarebbe un Tesseract (cubo a 4 dimensioni), etc…) e chiama quel numero di dimensioni N. Poi, immagina di collegare tutte le possibili coppie di vertici con delle linee, e colorare ognuna di quelle in rosso o blu. Qual è il più piccolo numero di dimensioni N tale che tutte le colorazioni possibili abbiano un grafico completo monocromatico di quattro vertici complanari (cioè un insieme di quattro punti che sono collegati in tutti i modi possibili, con tutte le linee dello stesso colore)?

spiegazioni utili alla comprensione del numero di graham
Un esempio di cubo con 12 K4 planari, con un singolo K4 monocromatico mostrato sotto. Se si cambia il bordo sul fondo di questo K4 in blu, allora il cubo non conterrà un piano monocromatico K4, mostrando quindi che N* è almeno 4. (Credito: https://googology.wikia.org/wiki/Graham%27s_number)

Ora, cosa stiamo cercando in queste linee colorate? Stiamo cercando il più piccolo numero di dimensioni dell’ipercubo in modo che tutte le colorazioni possibili che possiamo fare in questo modo conterranno un K4 (con K4 abbiamo un poligono con quattro lati, con K5 un poligono a 5 lati, etc…) monocromatico con quattro vertici complanari (quattro punti sono complanari se tutti appartengono al medesimo piano). In altre parole, stiamo cercando il più piccolo numero di dimensioni di un ipercubo in cui tutte le colorazioni avranno almeno una occorrenza di:

oppure…

Dimostrazione completa:

La dimostrazione matematica completa la trovi a questo link (in lingua inglese): https://sites.google.com/site/pointlesslargenumberstuff/home/2/grahamsnumber

Notazione a frecce di Knuth

Per capire la rappresentazione numerica del Numero di Graham, bisogna spiegare come funziona la notazione a frecce di Knuth, ovvero un sistema creato per potere rappresentare numeri molto grandi che nella normale notazione a cifre o esponenziali sarebbero impossibile da scrivere.

Sono usate varie notazioni per rappresentare iperoperazioni. Una di queste notazioni è:

H_{n}(a,b)

Un’altra notazione è a[n]b, una notazione infissa (notazione comunemente usata in formule e istruzioni aritmetiche e logiche. È caratterizzata dal posizionamento di operatori tra operandi) che è conveniente per ASCII (American Standard Code for Information Interchange). La notazione a[n]b è nota come “notazione tra parentesi quadre”.

La notazione freccia verso l’alto di Knuth ↑ è una notazione alternativa. Si ottiene sostituendo [n] nella notazione delle parentesi quadre con n-2 frecce.

La freccia singola ↑ rappresenta l’esponenziazione (moltiplicazione iterata):

{\displaystyle 2\uparrow 4=H_{3}(2,4)=2[3]4=2\times (2\times (2\times 2))=2^{4}=16}

La doppia freccia ↑↑ rappresenta la tetrazione (esponenziazione iterata):

{\displaystyle 2\uparrow \uparrow 4=H_{4}(2,4)=2[4]4=2\uparrow (2\uparrow (2\uparrow 2))=2^{2^{2^{2}}}=2^{16}=65536}

La generale definizione della notazione a freccia verso l’alto è (per a ≥ 0; n ≥ 1; b ≥ 0):

{\displaystyle a\uparrow ^{n}b=H_{n+2}(a,b)=a[n+2]b}

Detto questo, nel 1971 Graham pubblicò un articolo dimostrando che la risposta esiste, fornendo il limite superiore (F^{7}(12) ), dove (F(n) = 2 ^{n} 3 ) nella notazione delle frecce. [2] Sbiis Saibian chiama questo numero “Little Graham“. Martin Gardner, quando scoprì la dimensione del numero, la trovò difficile da spiegare, e ideò un numero più grande, più facile da spiegare, che Graham dimostrò in un documento inedito del 1977. Martin Gardner ha scritto del numero in Scientific American e lo ha anche fatto al Guiness World Records nel 1980 come il più grande numero utilizzato in una prova matematica, anche se pochi anni dopo il titolo è stato rimosso dai Guinness World Records.

Numero di Graham con notazione numerica di Knuth
Rappresentazione del Numero di Graham con notazione numerica di Knuth

Articoli di riferimento:

Articolo scritto in collaborazione con:

Potrebbe interessarti:

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato.

Seguimi su YouTube/ilperchedeldubbio

Mi piace rendere la Scienza un Racconto.


Questo canale YouTube è il punto d'incontro della mia
passione per la Grafica e la Musica.

Dai uno sguardo al canale YouTube e vedrai che non te ne pentirai!