Numero di Graham, il numero impossibile da pensare

NON PENSARE AL NUMERO DI GRAHAM! IL SOLO PENSARLO GENEREREBBE UN BUCO NERO!

Quanto appena detto è vero, anche se non ci sta da preoccuparsi. È impossibile riuscire a pensarlo, causa numero elevato di cifre che possiede.

Il numero di Graham, in onore di Ronald Graham, è considerato il primo numero di grandezza inconcepibile ad essere usato in una seria dimostrazione matematica. Pensare di poter rappresentarlo è considerato scientificamente impossibile. Questo perché il numero in questione è perfino più grande della quantità di particelle dal volume di Planck (volume più piccolo attualmente noto) presenti in tutto l’universo. Ciò significa che per poterlo rappresentare servirebbe uno spazio perfino maggiore dell’intero universo conosciuto.

Dunque secondo la fisica, se qualcuno o qualcosa dovesse riuscire in qualche modo ad immaginare questo numero, l’unica soluzione possibile è che la sua mente si trasformi in un buco nero. Questo perché la quantità di informazione presente nel cervello sarebbe talmente tanto densa da far innescare lo stesso processo che fa cadere le stelle in una singolarità.

Secondo John Baez, un fisico matematico all’Università della California, basterebbe anche un numero molto più piccolo del Numero di Graham per ottenere il medesimo effetto, come ad esempio un googol.

A conti fatti, quanto è grande il Numero di Graham?

Non è semplice dire quanto sia effettivamente grande questo numero. Ci sono tantissimi grandi numeri, come ad esempio il Googol (un 1 seguito da 100 zeri, quindi un 10100), da cui deriva il Googolplex (un 1 seguito da un Googol di zeri, quindi 10Googol). Questi numeri, per quanto grandi siano, sono ugualmente scrivibili, ma il Numero di Graham è talmente grande che ci sono più zeri che atomi nel nostro universo conosciuto. Ciò significa che nemmeno il più grande dei computer potrà mai lavorarci, proprio perché quest’ultimo dovrebbe avere uno spazio perfino maggiore dello stesso universo.

Ma perché proprio questo numero? Esisteranno sempre infiniti numeri più grandi

La particolarità del Numero di Graham non sta semplicemente nel fatto che sia un grande numero, dato che chiunque potrebbe inventarsi da un momento all’altro uno perfino maggiore, ma è noto proprio per essere stato utilizzato in una dimostrazione matematica (dimostrazione ovviamente molto complessa e difficile da spiegare).

Come si è arrivati a questo numero?

Il problema che Graham affronta è un caso particolare della teoria di Ramsey. Per chi non conosce la teoria in questione, quest’ultima include problemi del tipo: Quante persone devono esserci in una stanza, perché se ne possa sempre trovare un gruppo di 3, tali che ciascuna conosca tutte le altre o ciascuna non conosca nessuno degli altri?

Sono pochi i problemi del genere ad essere stati risolti, questo perché alcuni richiedono dimostrazioni per nulla semplici e non di facile intuito. Ad ogni modo la teoria di Ramsey assicura che esiste sempre una risposta.

Enunciato del problema che ha dato origine al Numero di Graham

Il numero di Graham nasce proprio da uno dei problemi di Ramsey e l’enunciato dello stesso è il seguente:

Sia N* la dimensione più piccola n di un ipercubo tale che se le linee che uniscono tutte le coppie di angoli sono bicolori per qualsiasi n ≥ N*, sarà forzato un grafico completo K4 di un colore con vertici coplanari. Trova N*.

Per capire che cosa questo problema chiede, considera un ipercubo di qualsiasi numero di dimensioni (1 dimensione sarebbe una linea, 2 sarebbe un quadrato, 3 sarebbe un cubo, 4 sarebbe un Tesseract (cubo a 4 dimensioni), ecc), e chiama quel numero di dimensioni N. Poi, immagina di collegare tutte le possibili coppie di vertici con delle linee, e colorare ognuna di quelle in rosso o blu. Qual è il più piccolo numero di dimensioni N tale che tutte le colorazioni possibili abbiano un grafico completo monocromatico di quattro vertici complanari (cioè un insieme di quattro punti che sono collegati in tutti i modi possibili, con tutte le linee dello stesso colore)?

spiegazioni utili alla comprensione del numero di graham
Un esempio di cubo con 12 K4 planari, con un singolo K4 monocromatico mostrato sotto. Se si cambia il bordo sul fondo di questo K4 in blu, allora il cubo non conterrà un piano monocromatico K4, mostrando quindi che N* è almeno 4. (Credito: https://googology.wikia.org/wiki/Graham%27s_number)

Importante da spiegare è la Notazione a frecce di Knuth, ovvero un sistema creato per potere rappresentare numeri molto grandi che nella normale notazione a cifre o esponenziali sarebbero impossibile da scrivere.

Sono usate varie notazioni per rappresentare iperoperazioni. Una di queste notazioni è:

H_{n}(a,b)

Un’altra notazione è a[n]b, una notazione infissa (notazione comunemente usata in formule e istruzioni aritmetiche e logiche. È caratterizzata dal posizionamento di operatori tra operandi) che è conveniente per ASCII (American Standard Code for Information Interchange). La notazione a[n]b è nota come “notazione tra parentesi quadre”.

La notazione freccia verso l’alto di Knuth ↑ è una notazione alternativa. Si ottiene sostituendo [n] nella notazione delle parentesi quadre con n-2 frecce.

La freccia singola ↑ rappresenta l’esponenziazione (moltiplicazione iterata):

{\displaystyle 2\uparrow 4=H_{3}(2,4)=2[3]4=2\times (2\times (2\times 2))=2^{4}=16}

La doppia freccia ↑↑ rappresenta la tetrazione (esponenziazione iterata):

{\displaystyle 2\uparrow \uparrow 4=H_{4}(2,4)=2[4]4=2\uparrow (2\uparrow (2\uparrow 2))=2^{2^{2^{2}}}=2^{16}=65536}

La generale definizione della notazione a freccia verso l’alto è (per a ≥ 0; n ≥ 1; b ≥ 0):

{\displaystyle a\uparrow ^{n}b=H_{n+2}(a,b)=a[n+2]b}

Detto questo, nel 1971 Graham pubblicò un articolo dimostrando che la risposta esiste, fornendo il limite superiore (F^{7}(12) ), dove (F(n) = 2 ^{n} 3 ) nella notazione delle frecce. [2] Sbiis Saibian chiama questo numero “Little Graham“. Martin Gardner, quando scoprì la dimensione del numero, la trovò difficile da spiegare, e ideò un numero più grande, più facile da spiegare, che Graham dimostrò in un documento inedito del 1977. Martin Gardner ha scritto del numero in Scientific American e lo ha anche fatto al Guiness World Records nel 1980 come il più grande numero utilizzato in una prova matematica, anche se pochi anni dopo il titolo è stato rimosso dai Guinness World Records.


Articoli di riferimento:

Come si è arrivati a tale numero: https://googology.wikia.org/wiki/Graham%27s_number

Notazione a frecce di Knuth: https://en.wikipedia.org/wiki/Knuth%27s_up-arrow_notation

Alcuni esempi e Teoria di Ramsey: http://www.bitman.name/math/article/634/

Fonte relativa al Buco Nero e al Numero di Graham: ibmathsresources.com

Articolo scritto in collaborazione con:

Lo Zenit, di seguito il link della sua pagina Instagram: https://www.instagram.com/lo.zenit/

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