Il paradosso del compleanno

Il paradosso del compleanno

Quante persone ci devono essere in una stanza affinché la probabilità che due di loro festeggino il compleanno lo stesso giorno sia maggiore del 50%, ovvero che sia più probabile che ci siano due persone nate in giorni uguali, piuttosto che diversi?

Se pensassimo ad una grande stanza con 365 sedie e 100 persone, ci verrebbe immediatamente da pensare che ci saranno sicuramente delle sedie vuote e che nessuno di buon logica penserà di sedersi sulla stessa sedia di un’altra persona.

Riportando il seguente ragionamento al nostro problema, arriviamo all’immediata ed errata soluzione che la probabilità, che ci siano due persone con lo stesso compleanno nella stessa stanza, sarà molto bassa.

Prima di andare a leggera la soluzione, perché non provi a risolverlo da solo? Prova a lasciare la tua risposta nei commenti.


Soluzione paradosso del compleanno

Per capire se due persone hanno lo stesso compleanno, dobbiamo considerarle a coppie e dobbiamo considerare il numero totale di possibili coppie presenti.

Per introdurvi la spiegazione, partiamo da un caso basilare. Con tre persone abbiamo tre coppie possibili: AB, AC e BC. Con quattro persone ne abbiamo sei: AB, AC, AD, BC, BD e CD.

Procedendo con questi conti arriveremo che con 23 persone risultano esserci ben 253 diverse coppie. Vedete bene che il ragionamento assume sempre più sostanza, infatti con 253 coppie avremmo un’alta possibilità che una coppia di persone sia nata lo stesso giorno dell’anno, su 365 possibili.

Se si vuole ottenere il risultato sperato, il metodo più conveniente è quello di vedere come cambia la probabilità aggiungendo sempre nuove persone. Per fare questo bisogna analizzare il caso inverso, ovvero la probabilità che due persone compiano il compleanno in giorni diversi, ovvero per la prima coppia sarà di 364365 , ipotizzando che ogni anno sia composto da 365 giorni.

A questo punto la probabilità che la terza persona eviti il compleanno delle altre due è del 363365 , non dimenticandoci però che i primi due sono nati in giorni diversi.

Nella probabilità, quando dobbiamo studiare il caso in cui due eventi diversi accadano contemporaneamente, è necessario moltiplicare la probabilità del primo evento con la probabilità del secondo.

Per questo motivo, la probabilità che la seconda persona eviti il compleanno della prima e che la terza persona eviti il compleanno delle prime due, è 364365 × 363365 = 0,9918, ovvero il 99,18% circa.

Non dobbiamo dimenticarci però che questa è la probabilità in cui, le persone prese in esame, sono nate in giorni diversi. Per tale motivo, per ottenere il risultato del nostro paradosso, si dovrà sottrarre ad 1 il numero da noi ottenuto, ovvero: 1–0,9918=0,0082, cioè lo 0,82%.

Per arrivare alla nostra soluzione, bisogna procedere allo stesso modo finché non si giungerà al risultato sperato, ovvero dell’almeno 50%.

364365  x  363365  x  362365  x  361365  x  360365… = 0,4927

Questo risultato è stato ottenuto facendo 23 frazioni, a questo punto rimane il passaggio finale che dimostra il tutto, ovvero: 1 – 0,4927 = 0,5073 = 50,73%

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